Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é
Esta questão avalia a capacidade de relacionar a geometria de um sólido com o comportamento de uma função que descreve o enchimento com vazão constante.
Como a vazão é constante, o volume aumenta uniformemente com o tempo: \\frac{dV}{dt} = Q = \\text{constante}. A taxa de variação da altura depende da área da seção transversal A(h) em cada ponto:
\\frac{dh}{dt} = \\frac{Q}{A(h)}
Quanto maior a área A(h), mais devagar a água sobe; quanto menor a área, mais rápido a água sobe.
Analisando a escultura de baixo para cima (a água acumula pelo fundo):
1ª parte — tronco de cone inferior (mais largo na base, estreita para cima): a área diminui conforme h aumenta, logo dh/dt cresce ao longo do tempo. O gráfico é côncavo para cima — a subida começa lenta e acelera.
2ª parte — cilindro (seção transversal constante): A(h) = A_0, portanto dh/dt é constante. O gráfico é um segmento de reta com inclinação uniforme.
3ª parte — tronco de cone superior (estreito na base, mais largo no topo): a área aumenta conforme h aumenta, logo dh/dt diminui. O gráfico é côncavo para baixo — a subida desacelera.
O conjunto das três fases produz uma curva em forma de S: crescimento acelerado (côncava para cima) → crescimento linear → crescimento desacelerado (côncava para baixo), com dois pontos de inflexão correspondentes às junções entre as partes da escultura. Esse comportamento é exatamente o representado no gráfico correto.
As demais alternativas estão erradas pois mostram crescimento puramente linear (ignora a variação de seção), exclusivamente acelerado ou exclusivamente desacelerado, sem refletir a alternância de três regiões geométricas distintas.
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