Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
20 \times 8! + (3!)^2
8! \times 5! \times 3!
— Gabarito (resposta correta)\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^8}
\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^2}
\frac{16!}{2^8}
Esta questão avalia análise combinatória, especificamente a aplicação do princípio multiplicativo junto com arranjos e combinações.
A estratégia do cliente se divide em duas fases:
Fase 1 — Ação + Comédia (5 visitas): O cliente precisa usar os 5 filmes de comédia, cada um em uma visita diferente, sempre acompanhado de um filme de ação. Portanto, ele escolhe 5 dos 8 filmes de ação para essa fase, e depois decide a ordem de cada par.
O número de maneiras de escolher quais 5 filmes de ação participam da Fase 1 é \binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5! \cdot 3!}. Em seguida, os 5 filmes de ação escolhidos podem ser ordenados entre as 5 visitas de 5! formas, e os 5 filmes de comédia também de 5! formas. Logo, a Fase 1 contribui com:
\binom{8}{5} \times 5! \times 5! = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \times 5! \times 5!
Fase 2 — Ação + Drama (3 visitas): Os 3 filmes de ação restantes são usados com os 3 de drama. Os 3 filmes de ação podem ser ordenados de 3! formas, e os 3 de drama também de 3! formas. A Fase 2 contribui com 3! \times 3!.
Pelo princípio multiplicativo, o total de formas é:
\frac{8!}{5! \cdot 3!} \times 5! \times 5! \times 3! \times 3!
Simplificando:
= 8! \times 5! \times 3!
As demais alternativas incorretas surgem de erros comuns: não separar corretamente as fases, esquecer de considerar a ordem dentro de cada fase, ou aplicar divisões indevidas (como dividir por 2^8 ou 2^2), que seriam válidas apenas se os filmes dentro de cada par fossem indistinguíveis — o que não ocorre aqui, pois cada filme é único.
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