O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20.
A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é
Esta questão avalia probabilidade com distribuição binomial negativa — especificamente, a probabilidade de o k-ésimo evento de interesse ocorrer exatamente na n-ésima tentativa.
O teste termina na quinta pergunta se e somente se o candidato der a segunda resposta errada exatamente na quinta pergunta. Isso significa que, nas quatro primeiras perguntas, deve haver exatamente uma resposta errada (e três certas), e a quinta deve ser errada.
Sendo p = 0{,}20 a probabilidade de errar e q = 0{,}80 a de acertar, a probabilidade é calculada em dois fatores:
Fator 1: A posição do único erro entre as quatro primeiras perguntas pode ocorrer de \binom{4}{1} = 4 maneiras. A probabilidade de cada configuração com 1 erro e 3 acertos é:
\binom{4}{1} \cdot (0{,}20)^1 \cdot (0{,}80)^3 = 4 \times 0{,}20 \times 0{,}512 = 0{,}4096
Fator 2: A quinta pergunta deve ser errada, com probabilidade 0{,}20.
Multiplicando os dois fatores:
P = 0{,}4096 \times 0{,}20 = 0{,}08192
Portanto, a probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é 0,08192.
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