Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a
Esta questão avalia o cálculo de volume de sólidos de revolução, especificamente a composição entre cilindro e esfera.
A pílula é formada por um cilindro de comprimento 10 mm e duas semiesferas (uma em cada extremidade). Duas semiesferas de mesmo raio formam uma esfera completa. Portanto, o volume da pílula é:
V = V_{\text{cilindro}} + V_{\text{esfera}} = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3
Pílula original com r = 5 mm e h = 10 mm, usando \pi \approx 3:
V_1 = 3 \cdot 5^2 \cdot 10 + \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 25 \cdot 10 + 4 \cdot 125 = 750 + 500 = 1250 \text{ mm}^3
Nova pílula com r = 4 mm e h = 10 mm:
V_2 = 3 \cdot 4^2 \cdot 10 + \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 16 \cdot 10 + 4 \cdot 64 = 480 + 256 = 736 \text{ mm}^3
A redução de volume é:
\Delta V = V_1 - V_2 = 1250 - 736 = \mathbf{514 \text{ mm}^3}
Os erros mais comuns nessa questão são esquecer de somar o volume da esfera (considerando apenas o cilindro) ou tratar as duas semiesferas como dois sólidos separados com cálculo incorreto. A composição correta dos sólidos e a substituição cuidadosa de \pi \approx 3 são essenciais para chegar ao resultado correto.
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