Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é
O conceito avaliado é a otimização de arranjos espaciais com restrições de espaçamento em um terreno retangular.
O terreno mede 11,5 m × 14 m, com espaçamento mínimo de 3 m entre mudas e entre mudas e as bordas. A estratégia determinante é o arranjo intercalado (escalonado) com filas paralelas ao lado maior (14 m).
Capacidade por fila (ao longo dos 14 m):
Descontando as margens, o espaço interno disponível é 14 - 3 - 3 = 8 \text{ m}. O número máximo de mudas por fila é \left\lfloor \frac{8}{3} \right\rfloor + 1 = 3, posicionadas em x = 3\text{ m},\ 6\text{ m},\ 9\text{ m} (a última fica a 14 - 9 = 5 \text{ m} da borda ✓).
Por que o arranjo regular limita a 6 mudas:
Com filas simplesmente alinhadas ao longo dos 11,5 m, o espaço interno é 11{,}5 - 6 = 5{,}5 \text{ m}, comportando apenas \left\lfloor \frac{5{,}5}{3} \right\rfloor + 1 = 2 filas. Total: 3 \times 2 = 6 mudas.
O arranjo intercalado permite 3 filas:
Nas filas pares, as covas são deslocadas horizontalmente de 1,5 m (metade do espaçamento). A distância diagonal entre uma muda de uma fila e a muda mais próxima da fila seguinte é:
\sqrt{(1{,}5)^2 + d_v^2} \geq 3 \implies d_v \geq \sqrt{9 - 2{,}25} = \sqrt{6{,}75} \approx 2{,}6 \text{ m}
Para 3 filas nas posições verticais 3\text{ m},\ 3 + d_v,\ 3 + 2d_v, a terceira fila deve respeitar a margem superior:
3 + 2d_v \leq 11{,}5 - 3 = 8{,}5 \implies d_v \leq 2{,}75 \text{ m}
Como 2{,}6 \leq d_v \leq 2{,}75, existe um espaçamento vertical válido. Usando d_v = 2{,}75 \text{ m}:
Fila 1 (y = 3\text{ m}): mudas em x = 3;\ 6;\ 9\text{ m}
Fila 2 (y = 5{,}75\text{ m}): mudas em x = 4{,}5;\ 7{,}5;\ 10{,}5\text{ m}
Fila 3 (y = 8{,}5\text{ m}): mudas em x = 3;\ 6;\ 9\text{ m}
Todas as restrições são satisfeitas: margens de borda ≥ 3 m e distâncias entre mudas ≥ 3 m. O total máximo é 3 \times 3 = \mathbf{9} mudas.
Arranjos com 12 ou mais mudas exigiriam uma quarta fila, o que demandaria d_v \leq 1{,}83 \text{ m}, incompatível com d_v \geq 2{,}6 \text{ m}.
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