Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x\cdot5^y\cdot7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
x\cdot y\cdot z
(x+1)\cdot(y+1)
x\cdot y\cdot z-1
(x+1)\cdot(y+1)\cdot z
(x+1)\cdot(y+1)\cdot(z+1)-1
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia o conceito de número de divisores de um inteiro a partir de sua fatoração em primos.
O ponto de partida é identificar as restrições sobre N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z:
N é múltiplo de 10, ou seja, 10 = 2 \cdot 5 divide N, o que exige x \geq 1 e y \geq 1.
N não é múltiplo de 7, portanto o fator 7^z não pode aparecer, logo z = 0.
Com z = 0, temos N = 2^x \cdot 5^y.
A fórmula geral para contar os divisores de um número na forma p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots é (a_1+1)(a_2+1)\cdots. Assim, o total de divisores de N é (x+1)(y+1).
Como a questão pede os divisores diferentes de N, subtraímos 1 (excluindo o próprio N):
(x+1)(y+1) - 1
A alternativa correta expressa isso na forma geral (x+1)(y+1)(z+1)-1, que com z=0 se reduz exatamente a (x+1)(y+1)-1. Essa forma geral é válida para qualquer valor de z não negativo, pois quando z=0 temos z+1=1, que não altera o produto — e ao mesmo tempo representa corretamente a fórmula de contagem de divisores sem o próprio N.
As demais alternativas falham porque ignoram a restrição z=0 ou não subtraem o próprio N da contagem.
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