Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é
O problema pede a quantidade máxima de triângulos não congruentes com perímetro total de 17 palitos e pelo menos um lado de comprimento 6.
Representando os lados por inteiros positivos a \leq b \leq c com a + b + c = 17, fixamos o lado obrigatório b = 6, de modo que a + c = 11.
A desigualdade triangular exige que a soma de quaisquer dois lados seja maior que o terceiro. A condição mais restritiva é a + b > c:
\a + 6 > 11 - a \implies 2a > 5 \implies a \geq 3
Como a \leq b = 6 e c = 11 - a \geq 6, temos também a \leq 5. Portanto a \in \{3, 4, 5\}, gerando exatamente três triângulos não congruentes:
3,\ 6,\ 8\,\quad (4,\ 6,\ 7),\quad (5,\ 6,\ 6)">\3,\ 6,\ 8\,\quad (4,\ 6,\ 7),\quad (5,\ 6,\ 6)
Não há outras combinações válidas: a = 1 dá 1+6=7 \not> 10 e a = 2 dá 2+6=8 \not> 9. O caso com três lados iguais a 6 totalizaria 18 ≠ 17. Portanto, a quantidade máxima é 3.
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