A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função
f(x)=-\sqrt{2-x^2}
f(x)=\sqrt{2-x^2}
f(x)=x^2-2
f(x)=-\sqrt{4-x^2}
— Gabarito (resposta correta)f(x)=\sqrt{4-x^2}
O conceito avaliado é a equação da circunferência e sua relação com funções reais.
O assento do balanço está preso por uma corda de 2 metros ao topo do suporte, que é a origem do plano cartesiano. Conforme a criança se balança, o assento percorre um arco de circunferência de raio r = 2, centrada na origem. A equação geral dessa circunferência é:
x^2 + y^2 = 4
Isolando y:
y = \pm\sqrt{4 - x^2}
Como a origem está no topo do suporte e o eixo y é positivo para cima, o assento do balanço encontra-se sempre abaixo da origem, ou seja, na região onde y \leq 0. Portanto, tomamos a raiz negativa:
f(x) = -\sqrt{4 - x^2}
As opções com \sqrt{2 - x^2} descrevem circunferências de raio \sqrt{2}, incompatível com a corda de 2 metros. A opção com x^2 - 2 descreve uma parábola, não uma trajetória circular. E a opção \sqrt{4 - x^2} representa o semicírculo superior (y \geq 0), que corresponderia ao assento acima do topo do suporte — fisicamente impossível nesse contexto.
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