O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. Considere 1,7 como aproximação para √3 .
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
Esta questão avalia o conceito de circunferência circunscrita a um triângulo equilátero. O tampo circular deve cobrir toda a base triangular, ou seja, seu raio deve ser pelo menos igual ao raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero de lado 30 cm.
Para um triângulo equilátero de lado a, a altura é dada por h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a. O circuncentro divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice, portanto o raio da circunscrita é:
R = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot a
Substituindo a = 30 cm:
R = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 30 = 10\sqrt{3}
Usando a aproximação \sqrt{3} \approx 1{,}7:
R = 10 \times 1{,}7 = 17 \text{ cm}
O raio mínimo necessário é 17 cm. Dentre as opções disponíveis (18, 26, 30, 35 e 60 cm), o menor raio suficiente é 18 cm, pois é o menor valor maior ou igual a 17 cm.
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