Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?
Esta questão avalia análise combinatória e contagem por casos. O jurado B ainda não divulgou suas notas para o quesito Bateria, e essas notas podem ser 6, 7, 8, 9 ou 10 — ou seja, 5 opções para cada uma das 5 escolas.
Com base na tabela, os totais parciais (sem a nota de B em Bateria) são:
Escola I: 55 + b₁ | Escola II: 66 + b₂ | Escola III: 50 + b₃ | Escola IV: 68 + b₄ | Escola V: 54 + b₅
Os intervalos possíveis de pontuação final são:
Escola I: [61, 65] | Escola II: [72, 76] | Escola III: [56, 60] | Escola IV: [74, 78] | Escola V: [60, 64]
Como o mínimo da Escola II (72) supera o máximo das Escolas I, III e V, elas nunca poderão vencer a Escola II. Portanto, os valores de b₁, b₃ e b₅ são irrelevantes — cada um tem 5 opções livres.
A única rival real é a Escola IV. Para a Escola II vencer, é preciso analisar dois casos:
Caso 1 — Escola II tem pontuação maior:
66 + b_2 > 68 + b_4 \implies b_2 - b_4 > 2 \implies b_2 \geq b_4 + 3
Caso 2 — Empate no total (aplica-se o critério de desempate por Enredo e Harmonia):
66 + b_2 = 68 + b_4 \implies b_2 = b_4 + 2
Escola II tem 10 + 10 = 20 pontos em Enredo e Harmonia; Escola IV tem 9 + 10 = 19. Logo, Escola II vence o desempate.Unindo os dois casos: Escola II é campeã quando b_2 \geq b_4 + 2. Contando os pares válidos (b_2, b_4) com valores em \{6,7,8,9,10\}:\
b_4 = 6: b_2 \in \{8,9,10\} → 3 pares
b_4 = 7: b_2 \in \{9,10\} → 2 pares
b_4 = 8: b_2 \in \{10\} → 1 par
b_4 \geq 9: nenhum par válido → 0 pares
Total de pares (b_2, b_4): 3 + 2 + 1 = 6.
O número total de configurações é:
5 \times 6 \times 5 \times 5 = \mathbf{750}
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