Uma indústria produz malhas de proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entrelaçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de (d − 1) milímetros, conforme a figura. O material utilizado não permite a passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento consegue transpor essa proteção. A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da região coberta pelas fitas da malha, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro.
Essa indústria recebeu a encomenda de uma malha de proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento.
A medida de d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é
\frac{11}{3}
\frac{4}{3}
\frac{2}{3}
O conceito avaliado é taxa de cobertura em geometria plana com periodicidade: calcular a fração de área coberta por uma malha regular de fitas perpendiculares.
Pela figura, cada fita tem 1 mm de largura e o espaçamento entre fitas consecutivas (lacuna) é de (d − 1) mm. Logo, o período — distância entre os centros de duas fitas adjacentes — é d mm em ambas as direções.
A luz só passa pela malha onde há lacuna nas duas direções simultaneamente. Em cada direção, a fração de comprimento ocupada pela lacuna é \frac{d-1}{d}. Portanto, a fração de área por onde a luz passa é:
\left(\frac{d-1}{d}\right)^2
A taxa de cobertura é o complemento:
\text{cobertura} = 1 - \left(\frac{d-1}{d}\right)^2
Impondo cobertura de 75%:
1 - \left(\frac{d-1}{d}\right)^2 = \frac{3}{4}
\left(\frac{d-1}{d}\right)^2 = \frac{1}{4}
\frac{d-1}{d} = \frac{1}{2}
2(d-1) = d \implies 2d - 2 = d \implies \boxed{d = 2}
Verificação: com d = 2, a lacuna é 1 mm e a fita também 1 mm. Em cada direção metade é fita, então 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \tfrac{1}{4} = 75\%. ✓
As demais alternativas resultam de equacionamentos incorretos, como igualar a fração linear (não a quadrática) a 75%, ou aplicar a taxa de cobertura em apenas uma dimensão.
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