Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
O conceito avaliado é o Máximo Divisor Comum (MDC). Para cortar as tábuas em pedaços de mesmo comprimento sem sobras, o comprimento de cada peça deve ser um divisor comum de todos os comprimentos disponíveis.
Calculamos o MDC de 540, 810 e 1080 por fatoração:
540 = 2^2 \times 3^3 \times 5
810 = 2^1 \times 3^4 \times 5
1080 = 2^3 \times 3^3 \times 5
O MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente:
\text{MDC}(540, 810, 1080) = 2^1 \times 3^3 \times 5 = 270 \text{ cm}
Como 270 cm > 200 cm (limite de 2 m), o MDC em si não pode ser usado. Devemos encontrar o maior divisor de 270 que seja menor que 200 cm.
Os divisores de 270 em ordem decrescente são: 270, 135, 90, 54, ... O maior divisor abaixo de 200 é 135 \text{ cm}.
Verificamos que 135 divide todos os comprimentos: 540 \div 135 = 4, 810 \div 135 = 6, 1080 \div 135 = 8. Calculamos o total de peças:
40 \times 4 + 30 \times 6 + 10 \times 8 = 160 + 180 + 80 = 420 \text{ peças}
As demais alternativas resultam de escolhas incorretas do comprimento da peça (por exemplo, usar o MDC completo de 270 cm sem verificar o limite de 2 m, ou omitir a etapa de busca pelo maior divisor válido).
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