Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em
Esta questão avalia geometria plana, especificamente o conceito de tangência entre circunferências e o cálculo de área de círculo.
As duas antenas originais possuem circunferências de raio r = 2 km tangentes entre si no ponto O. Isso significa que os centros C_1 e C_2 das duas circunferências menores estão a 2 km de O, posicionados em lados opostos.
A nova antena está em O, e sua circunferência de cobertura toca externamente as duas circunferências menores — ou seja, as pequenas ficam no interior da nova circunferência, com tangência nos pontos mais afastados de O.
Para encontrar o raio R da nova circunferência, usa-se a condição de tangência interna:
\text{distância entre centros} = R - r
|OC_1| = R - 2 \implies 2 = R - 2 \implies R = 4 \text{ km}
Área de cobertura das antigas: cada círculo tem área \pi \cdot 2^2 = 4\pi, portanto as duas somam 8\pi km².
Área da nova antena: \pi \cdot 4^2 = 16\pi km².
Ampliação:
16\pi - 8\pi = 8\pi \text{ km}^2
As outras alternativas correspondem a erros comuns: calcular apenas a área de um dos círculos antigos, esquecer de subtrair a área anterior, ou usar valores de raio incorretos (por exemplo, considerar R = 6 ou confundir diâmetro com raio).
Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
