Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?
Esta questão avalia o conceito de poliedros de Arquimedes, especificamente o cubo truncado, obtido ao aparar os 8 vértices de um cubo com cortes planos.
Um cubo possui:
• 6 faces quadradas originais
• 8 vértices
• 12 arestas
Ao realizar um corte plano em cada vértice do cubo, duas coisas acontecem:
1. As faces quadradas originais são modificadas: cada quadrado tem seus 4 cantos cortados, transformando-se em um octógono. As 6 faces continuam existindo, agora octagonais.
2. Cada corte cria uma nova face triangular: ao remover um tetraedro de cada um dos 8 vértices, surge uma nova face triangular equilátera em cada canto. Isso gera 8 novas faces triangulares.
O total de faces do poliedro P é dado por:
\text{Faces totais} = \underbrace{6}_{\text{octógonos}} + \underbrace{8}_{\text{triângulos}} = 14
Como cada face deve ser pintada com uma cor distinta, são necessárias exatamente 14 cores.
Os demais valores são incorretos: 6 seria o número de faces do cubo original (sem os cortes), 8 é o número de vértices cortados (novas faces triangulares apenas), e 24 e 30 não correspondem a nenhuma contagem relevante do poliedro.
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