q = 400 – 100p,
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo
Esta questão avalia a aplicação de função de receita e otimização com restrição, conceitos centrais de Matemática no ENEM.
A função demanda é q = 400 - 100p. A receita diária (arrecadação) é o produto preço × quantidade:
R(p) = p \cdot q = p(400 - 100p) = 400p - 100p^2
Com o preço atual de p_0 = 3{,}50, a receita é:
R(3{,}50) = 400(3{,}50) - 100(3{,}50)^2 = 1400 - 1225 = 175
Para a promoção, o preço p deve manter a receita de pelo menos R$175:
400p - 100p^2 \geq 175
Dividindo por -100 (invertendo a desigualdade) e reorganizando:
p^2 - 4p + 1{,}75 \leq 0 \implies 4p^2 - 16p + 7 \leq 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara com a=4,\ b=-16,\ c=7:
\Delta = 256 - 112 = 144 \implies p = \frac{16 \pm 12}{8}
Portanto p_1 = 0{,}50 e p_2 = 3{,}50, e o intervalo válido é:
0{,}50 \leq p \leq 3{,}50
Como a quantidade vendida q = 400 - 100p aumenta quando p diminui, para maximizar q o gerente deve escolher o menor preço possível dentro do intervalo: p = \text{R\$}\ 0{,}50. Esse valor pertence ao intervalo 0{,}50 \leq p < 1{,}50, confirmando a alternativa correta.
Os demais intervalos correspondem a preços mais altos — que resultariam em menor quantidade vendida — ou estão fora do intervalo em que a receita é mantida.
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