O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.
Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado).
A proposta implementada foi a de número
Esta questão avalia o conceito de probabilidade total combinado com porcentagem.
O ponto-chave é interpretar a eficácia da vacina de 98%: isso significa que uma menina vacinada tem apenas (1 − 0,98) = 2% da probabilidade original de contrair o HPV. Como sem vacinação a chance é de 50%, após a vacinação a chance cai para:
P(\text{HPV} \mid \text{vacinada}) = 0{,}02 \times 0{,}5 = 0{,}01 = 1\%
Chamando de x a proporção de meninas vacinadas, a probabilidade de uma menina escolhida ao acaso contrair a doença é dada pela probabilidade total:
P = x \cdot 0{,}01 + (1 - x) \cdot 0{,}5 \leq 0{,}059
Resolvendo a inequação:
0{,}01x + 0{,}5 - 0{,}5x \leq 0{,}059
0{,}5 - 0{,}49x \leq 0{,}059
0{,}49x \geq 0{,}441
x \geq \frac{0{,}441}{0{,}49} = 0{,}9 = 90\%
É necessário vacinar pelo menos 90% do público-alvo. Para minimizar os custos (menor cobertura possível), a proposta escolhida é exatamente a de 90%. Confirmando: 0{,}9 \times 0{,}01 + 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}009 + 0{,}050 = 0{,}059 = 5{,}9\%\ \checkmark. As demais propostas abaixo de 90% (como 88,2%, 55,8% e 49%) não atingem a meta; as acima de 90% (como 95,9%) atingem, mas gastam mais do que o necessário.
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