O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥1?
P(t)=0{,}5\cdot t^{-1}+8\,000
P(t)=50\cdot t^{-1}+8\,000
P(t)=4\,000\cdot t^{-1}+8\,000
P(t)=8\,000\cdot(0{,}5)^{t-1}
P(t)=8\,000\cdot(1{,}5)^{t-1}
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia o conceito de progressão geométrica aplicado a funções exponenciais.
No primeiro ano de funcionamento (t = 1), a indústria produziu 8.000 unidades. A partir daí, a produção cresce 50% ao ano, ou seja, cada ano a produção é multiplicada por 1{,}5.
Organizando os valores:
t = 1 \Rightarrow P = 8{.}000
t = 2 \Rightarrow P = 8{.}000 \times 1{,}5
t = 3 \Rightarrow P = 8{.}000 \times 1{,}5^2
Percebe-se que a produção forma uma progressão geométrica de primeiro termo a_1 = 8{.}000 e razão q = 1{,}5. O termo geral de uma PG é dado por a_t = a_1 \cdot q^{t-1}, portanto:
P(t) = 8{.}000 \cdot (1{,}5)^{t-1}
A alternativa com (0{,}5)^{t-1} está errada porque representaria uma redução de 50% ao ano (fator menor que 1), e não um crescimento. As demais alternativas utilizam potenciação em t com bases inválidas ou somam termos em vez de multiplicar, não representando corretamente um crescimento percentual composto.
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