O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é
Esta questão avalia o conceito de Máximo Divisor Comum (MDC). O raciocínio central é: para minimizar o número de escolas, é preciso maximizar o número de ingressos entregue a cada escola.
Esse número máximo de ingressos por escola deve dividir exatamente tanto 400 quanto 320, sem sobras. Portanto, ele deve ser um divisor comum dos dois valores — e o maior divisor comum possível é justamente o MDC(400, 320).
Calculando pela fatoração em primos:
400 = 2^4 \times 5^2 \qquad 320 = 2^6 \times 5
\text{MDC}(400,\, 320) = 2^4 \times 5^1 = 16 \times 5 = 80
Com 80 ingressos por escola, o número de escolas em cada sessão é:
\text{Sessão vespertina: } \frac{400}{80} = 5 \text{ escolas}
\text{Sessão noturna: } \frac{320}{80} = 4 \text{ escolas}
Total mínimo de escolas: 5 + 4 = \mathbf{9}.
Valores menores que 80 (como 40 ou 10) também são divisores comuns, mas resultariam em mais escolas — não no mínimo. Por isso, usar o MDC é essencial para garantir o menor número possível de escolas contempladas.
Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
