Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura.
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é
Esta questão avalia a capacidade de modelar geometricamente uma situação com função logarítmica e manipular algebricamente a expressão obtida.
Da figura, o vidro se estende verticalmente de y = -\\dfrac{h}{2} (base) até y = \\dfrac{h}{2} (topo), com o eixo x exatamente no meio. O bordo curvo direito segue a curva y = \\log x, ou equivalentemente x = 10^y.
Os extremos horizontais da base (em y = -h/2) e do topo (em y = h/2) são, respectivamente:
x_1 = 10^{h/2} \quad \text{e} \quad x_2 = 10^{-h/2}
A medida n da base é a diferença horizontal entre esses dois pontos:
n = 10^{h/2} - 10^{-h/2}
Fazendo u = 10^{h/2}, a equação fica:
n = u - \frac{1}{u} \implies nu = u^2 - 1 \implies u^2 - nu - 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara e tomando a raiz positiva (pois u = 10^{h/2} > 0):
u = \frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}
Como u = 10^{h/2}, aplicando logaritmo:
\frac{h}{2} = \log\!\left(\frac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}\right) \implies \boxed{h = 2\log\!\left(\frac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}\right)}
As demais alternativas são incorretas: uma delas apresenta \log de argumento negativo (inválido nos reais); outra fornece exatamente h/2, não h; outra resulta em soma de logaritmos que produz valores não positivos para n físico; e a última restringe o domínio a n < 2 sem justificativa geométrica.
Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
