Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são
Esta questão avalia o conceito de ponto médio de um percurso em um plano cartesiano com ruas em L.
A partir da figura, identificamos as coordenadas dos pontos existentes: P = (30, 20) e Q = (550, 320).
O ônibus não percorre em linha reta entre P e Q — ele segue as ruas. O trajeto tem dois segmentos:
Segmento 1 — Rua A (horizontal, y = 20): da posição x = 30 até x = 550, percorrendo uma distância de 550 - 30 = 520 unidades.
Segmento 2 — Rua B (vertical, x = 550): de y = 20 até y = 320, percorrendo 320 - 20 = 300 unidades.
A distância total do percurso de P a Q é:
d_{PQ} = 520 + 300 = 820 \text{ unidades}
Para que PT = TQ, o ponto T deve estar a metade do percurso total:
\frac{820}{2} = 410 \text{ unidades a partir de P}
Como o primeiro segmento (Rua A) tem 520 unidades e 410 < 520, o ponto T ainda está na Rua A, com y = 20.
A posição horizontal de T é:
x_T = 30 + 410 = 440
Portanto, T = (440, 20).
Verificação: a distância de T até Q segue por Rua A de 440 até 550 (110 unidades) e depois Rua B de 20 até 320 (300 unidades): 110 + 300 = 410 ✓
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