O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a
O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.
O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.
Considere 3,0 como aproximação para π.
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser
Esta questão avalia o cálculo de área de setor circular e aplicação de inequação.
A piscina é formada por três setores circulares idênticos, cada um com ângulo central de 60° e raio R.
A área de um setor circular é dada por:
A_{setor} = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi R^2
Substituindo \theta = 60°:
A_{setor} = \frac{60}{360} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi R^2
A área total da nova piscina (3 setores) é:
A_{nova} = 3 \cdot \frac{1}{6} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi R^2
A área da piscina retangular existente é:
A_{retangular} = 50 \times 24 = 1200 \text{ m}^2
A condição exigida é A_{nova} < A_{retangular}:
\frac{1}{2} \pi R^2 < 1200
Usando \pi \approx 3{,}0:
\frac{1}{2} \cdot 3{,}0 \cdot R^2 < 1200
1{,}5 \cdot R^2 < 1200
R^2 < 800
R < \sqrt{800} \approx 28{,}28 \text{ m}
Portanto, o maior valor inteiro possível para R é 28 metros. Verificando: com R = 28, a área é 1{,}5 \times 784 = 1176 \text{ m}^2 < 1200 \text{ m}^2 ✓. Com R = 29, a área seria 1{,}5 \times 841 = 1261{,}5 \text{ m}^2 > 1200 \text{ m}^2 ✗.
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