Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
Esta questão avalia o conceito de probabilidade equitativa em diferentes esquemas de amostragem. O resultado contraintuitivo é que os três modos produzem a mesma probabilidade.
A competição tem 20 \times 10 = 200 atletas no total. Queremos a probabilidade de que o atleta suspeito seja sorteado.
Modo I — sortear 3 entre os 200 atletas:
P(I) = \frac{\binom{199}{2}}{\binom{200}{3}} = \frac{3}{200}
Equivalente a: a chance de um atleta específico estar em um grupo de 3 tirado de 200 é \frac{3}{200}.
Modo II — sortear 1 equipe (de 20) e depois 3 atletas (de 10):
P(\text{equipe correta}) = \frac{1}{20}, \quad P(\text{atleta} \mid \text{equipe}) = \frac{\binom{9}{2}}{\binom{10}{3}} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}
P(II) = \frac{1}{20} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{200}
Modo III — sortear 3 equipes (de 20) e depois 1 atleta de cada:
P(\text{equipe correta sorteada}) = \frac{\binom{19}{2}}{\binom{20}{3}} = \frac{171}{1140} = \frac{3}{20}, \quad P(\text{atleta} \mid \text{equipe}) = \frac{1}{10}
P(III) = \frac{3}{20} \times \frac{1}{10} = \frac{3}{200}
Os três resultados são iguais:
P(I) = P(II) = P(III) = \frac{3}{200}
A intuição é que, independentemente de como a amostragem é estruturada em etapas, se cada atleta tem igual probabilidade de ser escolhido em cada etapa, a probabilidade final de selecionar um indivíduo específico é a mesma que a de um sorteio simples — simetria da probabilidade.
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