Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função
onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é
A questão modela o preço de um produto sazonal pela função trigonométrica P(x) = 8 + 5\cos\!\left(\dfrac{\pi x - \pi}{6}\right), onde x é o mês do ano.
O enunciado afirma que, no mês de produção máxima, o preço é mínimo (oferta abundante → preço baixo). Portanto, é preciso minimizar P(x).
O valor mínimo da função cosseno é -1, logo o mínimo de P(x) vale 8 + 5 \cdot (-1) = 3. Isso ocorre quando:
\cos\!\left(\frac{\pi x - \pi}{6}\right) = -1
A equação \cos(\theta) = -1 tem solução \theta = \pi + 2k\pi, com k \in \mathbb{Z}. Substituindo:
\frac{\pi x - \pi}{6} = \pi + 2k\pi
\frac{\pi(x-1)}{6} = \pi(1 + 2k)
x - 1 = 6(1 + 2k)
x = 7 + 12k
Para k = 0, obtemos x = 7, que corresponde a julho — o único valor válido no intervalo [1, 12].
Para confirmar, em x = 1 (janeiro) o cosseno vale 1 e o preço é máximo (P = 13), o que indica menor disponibilidade — não a safra máxima. Os demais meses fornecem valores intermediários de P(x).
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