Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log10 3 e 1,041 como aproximação para log10 11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30℃ é mais próximo de
Esta questão avalia o uso de progressão geométrica e logaritmos para modelar um resfriamento exponencial.
A temperatura diminui 1% a cada 30 minutos, ou seja, a cada período a liga conserva 99% da temperatura anterior. Após n períodos de 30 minutos, a temperatura é:
T(n) = 3000 \times (0{,}99)^n
Queremos encontrar n tal que T(n) = 30:
3000 \times (0{,}99)^n = 30 \implies (0{,}99)^n = \frac{1}{100}
Aplicando \log_{10} em ambos os lados:
n \cdot \log_{10}(0{,}99) = \log_{10}(0{,}01) = -2
Para calcular \log_{10}(0{,}99), escrevemos 0{,}99 = \dfrac{99}{100} = \dfrac{9 \times 11}{100}:
\log_{10}(0{,}99) = \log_{10}(9) + \log_{10}(11) - \log_{10}(100)
= 2\log_{10}(3) + \log_{10}(11) - 2 = 2 \times 0{,}477 + 1{,}041 - 2 = -0{,}005
Substituindo:
n \times (-0{,}005) = -2 \implies n = \frac{2}{0{,}005} = 400 \text{ períodos de 30 min}
Convertendo para horas:
\text{Tempo} = 400 \times 30 \text{ min} = 12{.}000 \text{ min} = \frac{12{.}000}{60} = \mathbf{200 \text{ horas}}
O tempo decorrido é mais próximo de 200 horas.
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