Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 − x2, sendo x e y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
Esta questão avalia o cálculo de área sob uma curva parabólica, usando a propriedade clássica que relaciona essa área com a do retângulo circunscrito.
Passo 1 — encontrar a base do túnel. A entrada do túnel está no nível do chão, ou seja, onde y = 0:
9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3
A base mede 3 - (-3) = 6 metros.
Passo 2 — encontrar a altura do túnel. O ponto mais alto ocorre em x = 0:
y = 9 - 0^2 = 9 \text{ metros}
Passo 3 — calcular a área do retângulo.
A_{\text{retângulo}} = \text{base} \times \text{altura} = 6 \times 9 = 54 \text{ m}^2
Passo 4 — aplicar a propriedade da parábola. O enunciado informa que a área sob o arco parabólico é igual a \dfrac{2}{3} da área desse retângulo:
A_{\text{tampa}} = \frac{2}{3} \times 54 = 36 \text{ m}^2
Portanto, a área frontal da tampa de concreto é de 36 m². O valor 54 corresponde à área do retângulo (sem aplicar o fator \tfrac{2}{3}), e 18 seria \tfrac{1}{3} do retângulo — erros comuns ao confundir ou inverter a proporção enunciada.
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