Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
Esta questão avalia análise combinatória, especificamente a contagem de arranjos com elementos de diferentes tipos usando o princípio fundamental da contagem.
Definindo o problema: A senha tem 4 caracteres — exatamente 2 algarismos e 2 letras, podendo estar em qualquer posição.
Passo 1 — Escolha dos algarismos: Cada um dos 2 algarismos pode ser qualquer dígito de 0 a 9, com repetição permitida. O número de formas é 10 \times 10 = 10^2.
Passo 2 — Escolha das letras: Como letras maiúsculas e minúsculas são diferentes, o alfabeto efetivo tem 26 + 26 = 52 letras. Com 2 posições de letra, o número de formas é 52 \times 52 = 52^2.
Passo 3 — Arranjo das posições: Temos 4 posições na senha. Precisamos distribuir 2 posições para algarismos e 2 para letras. O número de maneiras de fazer isso é o coeficiente multinomial:
\frac{4!}{2! \cdot 2!}
O 2! no denominador para os algarismos e o 2! para as letras evitam a recontagem de posições já contempladas nos passos anteriores.Total de senhas: Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicam-se os três fatores:
10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}
A alternativa que usa 26^2 em vez de 52^2 está errada pois ignora a diferença entre maiúsculas e minúsculas. A alternativa com \frac{4!}{2!} (sem dividir pelo segundo 2!) superconta as posições das letras.Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
