Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C). O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm. R T C Q
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3 , respectivamente. Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?
Esta questão avalia o cálculo de círculo inscrito e circunscrito em figuras geométricas planas, aplicado a uma condição dupla: a peça circular não pode caber nas outras perfurações, e as outras peças não podem caber na perfuração circular.
O objetivo é encontrar um diâmetro d tal que:
Condição 1 — a peça circular NÃO cabe nas perfurações Q, R e T:
O diâmetro do círculo deve ser maior que o diâmetro do círculo inscrito em cada figura.
Quadrado Q (lado 4 cm): o círculo inscrito tem diâmetro igual ao lado, portanto d_{ins}(Q) = 4 cm.
Retângulo R (3 × 4 cm): o círculo inscrito tem diâmetro igual ao menor lado, portanto d_{ins}(R) = 3 cm.
Triângulo equilátero T (lado 6,8 cm): o raio inscrito é r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6{,}8}{2 \times 1{,}7} = 2 cm, logo d_{ins}(T) = 4 cm.
O valor mais restritivo é 4 cm, então é necessário d > 4 cm.
Condição 2 — as peças Q, R e T NÃO cabem na perfuração circular:
O diâmetro do círculo deve ser menor que o diâmetro do círculo circunscrito a cada figura.
Quadrado Q: a diagonal é 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1{,}4 = 5{,}6 cm, portanto d_{circ}(Q) = 5{,}6 cm.
Retângulo R: a diagonal é \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 cm, portanto d_{circ}(R) = 5 cm.
Triângulo equilátero T: o raio circunscrito é R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6{,}8}{1{,}7} = 4 cm, logo d_{circ}(T) = 8 cm.
O valor mais restritivo é 5 cm (do retângulo), então é necessário d < 5 cm.
Combinando as duas condições:
4 < d < 5
Verificando as opções: 3,8 cm (não satisfaz d > 4), 4,7 cm (satisfaz 4 < 4{,}7 < 5 ✓), 5,6 cm (não satisfaz d < 5), 7,2 cm e 9,4 cm também não satisfazem. O marceneiro deve escolher a serra copo de 4,7 cm.
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