Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas. Rua A Rua B Rua C Rua E Rua D Rua F Rua 1 Rua 2 Rua 3 Rua 4 Rua 5 Rua 6
A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas
Esta questão avalia o conceito de distância de percurso em malha urbana (distância de táxi ou distância de Manhattan), em que o deslocamento ocorre apenas nas direções horizontal e vertical. O objetivo é encontrar o ponto equidistante de três locais fixos.
Atribuindo coordenadas numéricas ao mapa — colunas para as ruas numeradas e linhas para as ruas com letras (A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6) — os três pontos de referência são:
Trabalho da mãe: Rua 6 com Rua E → (6,\,5)
Consultório do pai: Rua 2 com Rua E → (2,\,5)
Escola: Rua 4 com Rua A → (4,\,1)
Seja o imóvel na posição (x,\,y). A distância de percurso entre dois pontos na malha é d = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|.
1ª condição — mesma distância ao trabalho e ao consultório:
|x-6| + |y-5| = |x-2| + |y-5|
|x-6| = |x-2|
Isso implica que x é equidistante de 2 e 6, portanto x = 4 (o imóvel está na Rua 4).
2ª condição — com x=4, mesma distância ao trabalho e à escola:
|4-6| + |y-5| = |4-4| + |y-1|
2 + |y-5| = |y-1|
Para 1 \le y < 5:
2 + (5 - y) = y - 1 \implies 7 - y = y - 1 \implies y = 4
Portanto y = 4, correspondendo à Rua D.
Verificação: o imóvel em (4,\,4) tem distância de percurso igual a 3 quarteirões até cada um dos três pontos:
d_{\text{trabalho}} = |4-6|+|4-5| = 2+1 = 3
d_{\text{consultório}} = |4-2|+|4-5| = 2+1 = 3
d_{\text{escola}} = |4-4|+|4-1| = 0+3 = 3
O imóvel deve ser localizado no encontro da Rua 4 com a Rua D.
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