Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura. 21 m 15 m 3 m 15 m Figura B x + 7 Figura A x
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a
A questão avalia o conceito de equação do 2º grau aplicado a áreas de figuras geométricas.
Passo 1 — Área da Figura B (trapézio)
A Figura B é um trapézio com bases paralelas de 21 m e 3 m, e lados iguais de 15 m cada. A altura h do trapézio é calculada traçando-se a perpendicular entre as bases. Cada lado se projeta horizontalmente em \frac{21-3}{2} = 9 m sobre a base maior, formando um triângulo retângulo com hipotenusa 15 m e cateto 9 m:
h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ m}
A área do trapézio é:
A_B = \frac{(21 + 3)}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \times 12 = 144 \text{ m}^2
Passo 2 — Equação para o terreno retangular (Figura A)
Como as áreas devem ser iguais e a largura é x e o comprimento é x + 7:
x(x+7) = 144
x^2 + 7x - 144 = 0
Passo 3 — Resolução pela fórmula de Bhaskara
\Delta = 7^2 + 4 \cdot 144 = 49 + 576 = 625
x = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2}
Tomando a raiz positiva (dimensão não pode ser negativa):
x = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ m}
Portanto, a largura é 9 m e o comprimento é 9 + 7 = 16 m. As demais alternativas resultam de valores de x que não satisfazem a equação — por exemplo, 10 \times 17 = 170 \neq 144 e 9{,}3 \times 16{,}3 \approx 151{,}6 \neq 144.
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