Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
Esta questão avalia progressão aritmética (PA) e mínimo múltiplo comum (MMC) para encontrar andares em comum.
Sequências de andares:
João (hidráulica): 1, 3, 5, 7, \ldots — PA com a_1 = 1 e razão r_J = 2.
Pedro (elétrica): 1, 4, 7, 10, \ldots — PA com a_1 = 1 e razão r_P = 3.
Andares em comum: Para que um andar n pertença às duas sequências, ele deve satisfazer simultaneamente:
n \equiv 1 \pmod{2} e n \equiv 1 \pmod{3}
Pelo Teorema Chinês do Resto, isso equivale a n \equiv 1 \pmod{6}, pois \text{MMC}(2, 3) = 6.
Portanto, os andares em comum formam uma nova PA: 1, 7, 13, 19, \ldots com a_1 = 1 e razão 6.
Encontrando o número de andares: O enunciado informa que exatamente 20 andares tiveram reparos hidráulico e elétrico. O 20º termo dessa PA é:
a_{20} = 1 + (20-1) \cdot 6 = 1 + 114 = 115
Verificação: O edifício tem N = 115 andares. Como os dois terminaram no último andar, N deve pertencer às duas sequências:
— João: 115 = 1 + 2 \times 57 ✓ (ímpar, pertence à PA de razão 2)
— Pedro: 115 = 1 + 3 \times 38 ✓ (pertence à PA de razão 3)
As demais alternativas (40, 60, 100, 120) são pares, portanto João nunca terminaria em um andar par — contradizendo o enunciado. Somente N = 115 satisfaz todas as condições.
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