Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro. F = (-1, 1) (km) (km) O B = (1, −1) −1 −1 x y Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para p e 1,4 como aproximação para √2 .
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de
Esta questão avalia geometria analítica e geometria plana, exigindo o cálculo de comprimentos de dois trajetos e a comparação do tempo de construção de cada um.
Trajeto 1 — Segmento de reta: A distância entre \ F=(-1,1) \ e \ B=(1,-1) \ é calculada pela fórmula da distância entre dois pontos:
d = \sqrt{(1-(-1))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1{,}4 = 2{,}8 \text{ km} = 2800 \text{ m}
O tempo de construção via segmento é: 2800 \times 1{,}0 = 2800 \text{ h}.
Trajeto 2 — Semicircunferência: O segmento FB é o diâmetro da semicircunferência, com comprimento 2\sqrt{2} km, portanto o raio é r = \sqrt{2} km. O comprimento do semicírculo é:
C = \pi r \approx 3 \times 1{,}4 = 4{,}2 \text{ km} = 4200 \text{ m}
O tempo de construção via semicircunferência é: 4200 \times 0{,}6 = 2520 \text{ h}.
Conclusão: Como 2520 < 2800, o menor tempo possível para a construção é 2 520 horas, pela rota em semicircunferência. Embora esse trajeto seja mais longo em distância, a velocidade de construção maior (0,6 h/m vs 1,0 h/m) compensa, tornando-o mais rápido.
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