A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano a é paralelo à linha do equador na figura.
A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por
Esta questão avalia o conceito de projeção ortogonal de curvas sobre um plano, aplicado à geometria da superfície terrestre.
A projeção ortogonal sobre o plano α (paralelo ao equador) consiste em "baixar" cada ponto do caminho verticalmente — ou seja, na direção perpendicular ao plano — até atingi-lo.
Trecho A→B (sobre o paralelo): Um paralelo é uma circunferência horizontal, situada num plano paralelo ao equador. Cada ponto do arco A→B já está "orientado horizontalmente", e sua projeção ortogonal sobre α é um arco de circunferência de raio r = R\cos\varphi, onde \varphi é a latitude e R é o raio da Terra. Portanto, a projeção de A→B é uma curva (arco de circunferência).
Trecho B→C (sobre o meridiano): Um meridiano é uma semicircunferência contida num plano vertical que passa pelo eixo da Terra. Um ponto genérico do meridiano, na latitude \varphi e longitude \lambda, tem coordenadas horizontais (R\cos\varphi\cdot\cos\lambda,\; R\cos\varphi\cdot\sin\lambda). Quando \varphi varia de \varphi_B até \varphi_C, a direção (\cos\lambda, \sin\lambda) permanece constante e apenas o módulo R\cos\varphi diminui (pois C está acima de B, em latitude maior). A projeção de todos esses pontos cai sobre uma mesma reta radial, produzindo um segmento de reta que vai do ponto B em direção ao centro da projeção.
Assim, a projeção correta mostra um arco curvo de A até B, seguido de um segmento de reta de B até C (com C mais próximo do centro que B). Essa é exatamente a alternativa correta. As demais alternativas erram ao tornar ambos os trechos curvos, ambos retos, ou ao fazer B e C coincidirem na projeção.
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