Uma invenção que significou um grande avanço tecnológico na Antiguidade, a polia composta ou a associação de polias, é atribuída a Arquimedes (287 a.C. a 212 a.C.). O aparato consiste em associar uma série de polias móveis a uma polia fixa. A figura exemplifica um arranjo possível para esse aparato. É relatado que Arquimedes teria demonstrado para o rei Hierão um outro arranjo desse aparato, movendo sozinho, sobre a areia da praia, um navio repleto de passageiros e cargas, algo que seria impossível sem a participação de muitos homens. Suponha que a massa do navio era de 3 000 kg, que o coeficiente de atrito estático entre o navio e a areia era de 0,8 e que Arquimedes tenha puxado o navio com uma força \vec{F}, paralela à direção do movimento e de módulo igual a 400 N. Considere os fios e as polias ideais, a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e que a superfície da praia é perfeitamente horizontal.
Disponível em: www.histedbr.fae.unicamp.br. Acesso em: 28 fev. 2013 (adaptado).
O número mínimo de polias móveis usadas, nessa situação, por Arquimedes foi
Esta questão avalia o conceito de vantagem mecânica em sistemas de polias compostas.
Passo 1 — Força necessária para mover o navio:
A força de atrito estático máxima que precisa ser superada é:
F_{atrito} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg = 0{,}8 \times 3000 \times 10 = 24{\,}000 \text{ N}
Passo 2 — Vantagem mecânica necessária:
Como Arquimedes aplicou apenas 400 N, o sistema de polias precisa amplificar essa força com uma vantagem mecânica (VM) tal que:
VM = \frac{F_{atrito}}{F} = \frac{24{\,}000}{400} = 60
Passo 3 — Número de polias móveis:
Em um sistema de polias compostas ideais, cada polia móvel dobra a vantagem mecânica. Com n polias móveis, a vantagem é:
VM = 2^n
Precisamos de 2^n \geq 60:
2^5 = 32 \quad (\text{insuficiente})
2^6 = 64 \quad (\text{suficiente})
Com 6 polias móveis, a força resultante seria 400 \times 64 = 25{\,}600 \text{ N} > 24{\,}000 \text{ N}, superando o atrito. Com apenas 5 polias, a força seria insuficiente. Portanto, o número mínimo de polias móveis é 6.
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