Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é
P\left[1+\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}\right]
— Gabarito (resposta correta)P\left[1+\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{1+\frac{2i}{100}}\right]
P\left[1+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}\right]
P\left[\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{1+\frac{2i}{100}}+\frac{1}{1+\frac{3i}{100}}\right]
P\left[\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^3}\right]
Esta questão avalia o conceito de valor presente em juros compostos aplicado à quitação antecipada de empréstimos.
O devedor paga as 5 primeiras parcelas normalmente e, no momento de pagar a 6ª parcela, decide quitar o restante da dívida. Nesse instante, ainda restam as parcelas 6, 7 e 8.
A quitação consiste em pagar, naquele exato momento, o valor presente de cada parcela ainda devida. Sendo q = 1 + \frac{i}{100} o fator de juros mensais compostos:
6ª parcela (vence agora): valor presente = P
7ª parcela (vence em 1 mês): valor presente = \dfrac{P}{q} = \dfrac{P}{1+\frac{i}{100}}
8ª parcela (vence em 2 meses): valor presente = \dfrac{P}{q^2} = \dfrac{P}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}
O total pago no ato da quitação é, portanto:
P\left[1+\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}\right]
As alternativas incorretas apresentam erros típicos: algumas substituem o desconto composto \left(1+\frac{i}{100}\right)^n pelo desconto simples \left(1+\frac{ni}{100}\right), e outras desconsideram que a 6ª parcela vence no instante presente, logo seu fator de desconto é 1 (e não \frac{1}{q}).
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