Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula
P=\frac{5\,000\times1{,}013^n\times0{,}013}{1{,}013^n-1}
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
Esta questão avalia a habilidade de trabalhar com equações exponenciais e logaritmos aplicados a um contexto financeiro de amortização de empréstimos.
A condição é que a prestação não ultrapasse R$ 400,00, ou seja, precisamos encontrar o menor n tal que P \leq 400:
\frac{5000 \times 1{,}013^n \times 0{,}013}{1{,}013^n - 1} \leq 400
Simplificando o numerador: 5000 \times 0{,}013 = 65, então:
\frac{65 \cdot 1{,}013^n}{1{,}013^n - 1} \leq 400
Fazendo x = 1{,}013^n (com x > 1), como o denominador é positivo, podemos multiplicar os dois lados sem inverter a desigualdade:
65x \leq 400(x - 1)
65x \leq 400x - 400
400 \leq 335x
x \geq \frac{400}{335}
Substituindo de volta x = 1{,}013^n:
1{,}013^n \geq \frac{400}{335}
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
n \cdot \log 1{,}013 \geq \log 400 - \log 335
Usando as aproximações fornecidas:
n \times 0{,}005 \geq 2{,}602 - 2{,}525 = 0{,}077
n \geq \frac{0{,}077}{0{,}005} = 15{,}4
Como n deve ser um número inteiro e n \geq 15{,}4, o menor número inteiro de parcelas que satisfaz a condição é n = 16.
Valores como n = 12, 14 ou 15 não atingem o mínimo exigido pela inequação e resultariam em prestações superiores ao limite de R$ 400,00.
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