Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
C_{6,4}
C_{9,3}
— Gabarito (resposta correta)C_{10,4}
6^4
4^6
Este problema avalia combinações com repetição (estrelas e barras) com restrição de mínimo.
Precisamos distribuir 10 carrinhos entre 4 cores (amarelo, branco, laranja e verde), de modo que cada cor tenha pelo menos 1 carrinho. Como mudanças de posição não geram novo modelo, só importa quantos carrinhos de cada cor existem — não onde estão.
Formalmente, buscamos o número de soluções inteiras de:
a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 10, \quad a_i \geq 1
Fazemos a substituição b_i = a_i - 1 \geq 0, transformando o problema em:
b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 6, \quad b_i \geq 0
Pelo princípio das estrelas e barras, o número de soluções é:
\binom{6 + 3}{3} = \binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} = 84
A expressão \binom{9}{3} corresponde exatamente à alternativa correta.
As demais expressões resultam de interpretações equivocadas: \binom{6}{4} ignoraria a restrição de mínimo; \binom{10}{4} não aplica a substituição necessária; 6^4 e 4^6 tratariam os carrinhos como distinguíveis por posição, contrariando o enunciado.
Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
