O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade v de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p+a)(v+b)=K, com a, b e K constantes.
Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:
O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p ; v). Admita que K > 0.
Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14 jul. 2015 (adaptado).
O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo
A questão pede que se identifique o tipo de curva representado pela equação de Hill no plano cartesiano com par ordenado (p\,;\,v).
A equação de Hill é:
(p+a)(v+b)=K
Isolando v em função de p:
v+b=\frac{K}{p+a} \implies v=\frac{K}{p+a}-b
Essa expressão tem a forma v=\dfrac{K}{p+a}-b, que é uma função hiperbólica. Para identificar o tipo de cônica, fazemos a mudança de variável X = p+a e Y = v+b, obtendo:
X \cdot Y = K
Esta é a equação canônica de uma hipérbole equilátera (ou retangular), com assíntotas nos eixos coordenados do sistema (X, Y), ou seja, p = -a e v = -b no sistema original.
Como p (peso) e v (velocidade) são grandezas físicas positivas, apenas um dos ramos da hipérbole está contido no domínio fisicamente relevante. Portanto, o gráfico é um ramo de hipérbole.
As demais opções são incorretas porque: semirretas (oblíqua ou horizontal) correspondem a funções lineares da forma v = mp + c; ramo de parábola decorre de uma equação quadrática; e arco de circunferência satisfaz (p-h)^2+(v-k)^2=r^2. Nenhuma dessas formas é compatível com a equação de Hill.
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