O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
Disponível em: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 (adaptado).
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
Esta questão envolve combinatória aplicada a coloração de grafos, utilizando o princípio multiplicativo da contagem.
A logomarca é composta por 6 regiões distintas. Ao analisar a estrutura da figura, percebe-se que as regiões estão dispostas de modo que cada uma é vizinha de apenas uma região já colorida (quando coloridas em sequência). Isso forma uma estrutura em cadeia, onde o raciocínio de contagem se aplica região por região.
Aplicando o princípio multiplicativo:
A primeira região pode receber qualquer uma das 4 cores disponíveis: 4 possibilidades.
Cada uma das 5 regiões seguintes é vizinha de exatamente uma região já colorida, portanto pode receber qualquer cor exceto a da sua vizinha: 3 possibilidades cada.
O total de maneiras de colorir a logomarca é dado por:
\text{Total} = 4 \times 3^5 = 4 \times 243 = 972
As demais alternativas (15, 30, 108, 360) resultam de contagens incorretas, como não aplicar o princípio multiplicativo corretamente, usar um número errado de regiões ou não considerar adequadamente a restrição de regiões vizinhas.
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