Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?
Esta questão avalia otimização de funções quadráticas aplicada a um problema geométrico real.
O viveiro tem base retangular com dimensões X e Y. A tela é usada apenas nas laterais, ou seja, cobre o perímetro da base. Como são utilizados 100 metros lineares, temos a restrição:
2X + 2Y = 100 \implies X + Y = 50
Queremos maximizar a área da base:
A = X \cdot Y
Substituindo Y = 50 - X na expressão da área:
A(X) = X(50 - X) = 50X - X^2
Essa é uma função quadrática com concavidade negativa (a = -1 < 0), logo possui ponto de máximo no vértice. O vértice ocorre em:
X = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 \cdot (-1)} = 25
E, portanto, Y = 50 - 25 = 25.
A área máxima é A = 25 \times 25 = 625 \text{ m}^2. Isso também é consequência direta da desigualdade AM-GM: o produto de dois números com soma fixa é máximo quando os valores são iguais. As demais alternativas apresentam pares cuja soma é 50 (como 1+49), mas o produto 1 \times 49 = 49 é muito menor que 25 \times 25 = 625.
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