Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de \frac{2}{3} e a de acusar a cor vermelha é de \frac{1}{3}. Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos.
Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?
\frac{10\times2}{3^{10}}
— Gabarito (resposta correta)\frac{10\times2^9}{3^{10}}
\frac{2^{10}}{3^{100}}
\frac{2^{90}}{3^{100}}
\frac{2}{3^{10}}
Esta questão avalia o conceito de distribuição binomial, aplicado ao cálculo da probabilidade de exatamente um sucesso em múltiplas tentativas independentes.
Cada semáforo representa uma tentativa independente com apenas dois resultados possíveis: verde (sucesso) com probabilidade p = \frac{2}{3} ou vermelho (fracasso) com probabilidade q = \frac{1}{3}.
Para calcular a probabilidade de exatamente um sinal verde entre os 10, usamos a fórmula binomial:
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
Substituindo n = 10, k = 1, p = \frac{2}{3} e q = \frac{1}{3}:
P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^9
Como \binom{10}{1} = 10, temos:
P(X = 1) = 10 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^9} = \frac{10 \times 2}{3^{10}}
As demais alternativas erram ao usar expoentes incorretos — algumas elevam 2 à potência 9 (confundindo com o número de semáforos vermelhos, sem aplicar corretamente a fórmula binomial) ou trabalham com potências de 100 nos expoentes, o que não faz sentido para apenas 10 semáforos.
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