A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
\frac{16}{3}
\frac{31}{5}
\frac{25}{4}
\frac{25}{3}
— Gabarito (resposta correta)\frac{75}{2}
Esta questão avalia a habilidade de modelar uma curva parabólica a partir de dados geométricos extraídos de uma situação real.
A abóbada tem perfil parabólico com vértice no topo. Posicionando o sistema de coordenadas com origem no centro da base (ao nível do chão), a parábola tem a forma:
y = H - ax^2
Da Figura 2, extraímos duas condições:
1ª condição: a parábola toca o chão (\ y = 0\) na extremidade da base, que tem largura total de 5 metros, ou seja, no ponto x = 2{,}5:
0 = H - a(2{,}5)^2 \implies a = \frac{H}{6{,}25} = \frac{4H}{25}
2ª condição: na altura y = 3 metros, a largura da parábola é 4 metros, ou seja, o ponto (2;\ 3) pertence à curva:
3 = H - a \cdot 2^2 = H - 4a
Substituindo o valor de a encontrado:
3 = H - 4 \cdot \frac{4H}{25} = H - \frac{16H}{25} = H\left(1 - \frac{16}{25}\right) = H \cdot \frac{9}{25}
Isolando H:
H = 3 \cdot \frac{25}{9} = \frac{75}{9} = \frac{25}{3}
Verificação: com a = \frac{4}{3}, em x = 2: y = \frac{25}{3} - \frac{4}{3}\cdot 4 = \frac{25-16}{3} = 3 ✓; em x = 2{,}5: y = \frac{25}{3} - \frac{4}{3}\cdot 6{,}25 = \frac{25-25}{3} = 0 ✓
Portanto, a altura H = \dfrac{25}{3} metros.
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