Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
5-\frac{\sqrt{91}}{2}
10-\sqrt{91}
Este problema envolve geometria espacial, especificamente as propriedades de uma calota esférica. O melão é uma esfera de raio R = 5 cm. O chefe corta uma calota na parte inferior (que será apoiada na mesa) com altura h.
Passo 1 — Relação entre h e r. Seja d a distância do centro da esfera ao plano de corte. Como a calota tem altura h, temos d = R - h = 5 - h. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo OAB da figura:
r^2 = R^2 - d^2 = 25 - (5 - h)^2 = 10h - h^2
Passo 2 — Condição de estabilidade (r ≥ 3):
r^2 \geq 9 \implies 10h - h^2 \geq 9 \implies h^2 - 10h + 9 \leq 0 \implies (h-1)(h-9) \leq 0
Portanto 1 \leq h \leq 9.
Passo 3 — Maximizar a área disponível para os doces. A área curva da calota removida é A_{\text{calota}} = 2\pi R h = 10\pi h. A área restante do melão (onde serão espetados os doces) é:
A_{\text{doces}} = 4\pi R^2 - 2\pi R h = 100\pi - 10\pi h
Essa área diminui conforme h aumenta, portanto é maximizada com o menor h possível. Dentro da restrição 1 \leq h \leq 9, o menor valor é h = 1 cm — exatamente quando r = 3 cm (limite mínimo de estabilidade). Assim, o corte em h = 1 cm é o único que atende simultaneamente à estabilidade e à maior área para os doces.
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