Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6 h 15 min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.
A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,
\frac{4}{21}
\frac{5}{21}
\frac{6}{21}
\frac{7}{21}
— Gabarito (resposta correta)\frac{8}{21}
Esta questão combina três conceitos estatísticos — moda, mediana e probabilidade — para encontrar o número máximo de dias em que o rapaz chegou antes de 6h 21min.
Dados do problema:
São n = 21 dias letivos. Os horários são registrados em minutos inteiros e nunca antes de 6h 15min. Portanto, os horários possíveis antes de 6h 21min são apenas: 6h15, 6h16, 6h17, 6h18, 6h19 e 6h20 — exatamente 6 valores distintos.
Restrição da mediana:
Com 21 dados ordenados, a mediana é o 11º valor. Como a mediana é 6h 22min, o 11º valor vale 6h 22min, o que implica que no máximo 10 valores podem ser menores ou iguais a 6h 21min. Chamando de n_1 o número de dias antes de 6h 21min e n_2 o número de dias em 6h 21min exato:
n_1 + n_2 \leq 10
Restrição da moda:
A moda é 6h 21min, ou seja, esse horário aparece mais vezes do que qualquer outro. Se n_1 \geq 7, pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao distribuir 7 ou mais valores entre apenas 6 possibilidades (6h15 a 6h20), pelo menos um desses horários se repete — sua frequência é \geq 2. Para que 6h 21min continue sendo a moda única, é necessário:
n_2 \geq 3
Maximizando n_1:
Com n_1 = 7 e n_2 = 3:
n_1 + n_2 = 7 + 3 = 10 \leq 10 \quad \checkmark
Isso é viável: por exemplo, um dos horários em [6h15, 6h20] aparece duas vezes (frequência 2), os demais uma vez cada, e 6h 21min aparece 3 vezes — sendo a moda única. Os 11 dias restantes têm horários \geq 6h 22min, cada um diferente, com frequência 1. A mediana (11º valor) é exatamente 6h 22min. ✓
Se tentássemos n_1 = 8, precisaríamos de n_2 \geq 3, resultando em n_1 + n_2 \geq 11 > 10, o que contradiria a condição da mediana. ✗
Conclusão:
O número máximo de dias antes de 6h 21min é 7, portanto a probabilidade máxima é:
\frac{7}{21}
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