Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
Este problema avalia o conceito de lugar geométrico, especificamente o Círculo de Apolônio: o conjunto de pontos cuja razão de distâncias a dois focos fixos é constante.
Posicionando os focos em um sistema de coordenadas, com B na origem B = (0, 0) e A em A = (30, 0), a condição é que para qualquer bombeiro na posição P = (x, y):
PA = 2 \cdot PB
Elevando ao quadrado:
PA^2 = 4 \cdot PB^2
(x-30)^2 + y^2 = 4(x^2 + y^2)
x^2 - 60x + 900 + y^2 = 4x^2 + 4y^2
0 = 3x^2 + 3y^2 + 60x - 900
x^2 + y^2 + 20x - 300 = 0
Completando o quadrado em x:
(x + 10)^2 + y^2 = 400
Esse é o Círculo de Apolônio, com centro em (-10,\, 0) e raio r = 20 m.
A maior distância entre dois bombeiros corresponde ao diâmetro do círculo:
d_{\max} = 2r = 2 \times 20 = \boxed{40 \text{ m}}
Pode-se verificar: o ponto mais à direita é (10, 0), com PA = 20 e PB = 10; o mais à esquerda é (-30, 0), com PA = 60 e PB = 30. Em ambos, a razão é 2, e a distância entre eles é 10 - (-30) = 40 m.
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