Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de π/6 rad, conforme a figura.
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0 ; 0).
Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a
\frac{2\cdot\pi\cdot1}{3}+8
— Gabarito (resposta correta)\frac{2\cdot\pi\cdot2}{3}+6
\frac{2\cdot\pi\cdot3}{3}+4
\frac{2\cdot\pi\cdot4}{3}+2
\frac{2\cdot\pi\cdot5}{3}+2
A questão exige identificar as posições de B e A na malha polar e encontrar o menor caminho entre eles ao longo das semirretas e circunferências.
Identificação dos pontos em coordenadas polares:
Da figura, o ponto B está em r = 4 e \theta = \frac{\pi}{6} (30°) — posição cartesiana aproximada (3{,}46;\, 2). O ponto A está em r = 6 e \theta = \frac{5\pi}{6} (150°) — posição cartesiana aproximada (-5{,}20;\, 3).
Diferença angular entre A e B:
Percorrendo no sentido anti-horário (caminho mais curto em ângulo):
\Delta\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}
Estratégia de menor caminho:
O comprimento de arco ao longo de uma circunferência de raio r cobrindo o ângulo \frac{2\pi}{3} é r \cdot \frac{2\pi}{3}. Para fazer o percurso, o objeto deve ir radialmente de r=4 até algum raio intermediário r_t, percorrer o arco, e então ir radialmente até r=6. O custo total é:
d(r_t) = |4 - r_t| + r_t \cdot \frac{2\pi}{3} + |6 - r_t|
Para r_t \leq 4:
d(r_t) = (4 - r_t) + r_t \cdot \frac{2\pi}{3} + (6 - r_t) = 10 + r_t\!\left(\frac{2\pi}{3} - 2\right)
Como \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}1 > 2, o coeficiente de r_t é positivo, então o custo diminui conforme r_t diminui. O menor raio natural disponível (sem passar pela origem) é r_t = 1.
Caminho ótimo — via circunferência de raio 1:
Semirreta de B inward: 4 - 1 = 3 unidades. Arco em r = 1: 1 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}. Semirreta até A outward: 6 - 1 = 5 unidades.
\text{Total} = 3 + \frac{2\pi}{3} + 5 = \frac{2\pi \cdot 1}{3} + 8
As demais alternativas correspondem ao mesmo trajeto, mas usando circunferências intermediárias de raios 2, 3, 4 e 5, resultando em arcos maiores e portanto distâncias totais maiores — pois \frac{2\pi}{3} > 2 garante que arcos de raios maiores sempre encarecem o percurso.
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