O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete.
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante.
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é
A_{10}^{4}
C_{10}^{4}
C_{4}^{2}\times C_{6}^{2}\times2\times2
— Gabarito (resposta correta)A_{4}^{2}\times A_{6}^{2}\times2\times2
C_{4}^{2}\times C_{6}^{2}
Esta questão avalia combinações e o princípio multiplicativo da contagem.
O problema tem quatro etapas independentes:
1. Escolher quais 2 carros compactos (de 4) serão expostos: como a ordem de seleção não importa, usamos combinação: C_4^2
2. Distribuir esses 2 compactos entre os 2 estandes distintos (entrada e região central): como os estandes são diferentes, importa qual carro vai para qual estande — há 2 maneiras de fazer essa atribuição.
3. Escolher quais 2 caminhonetes (de 6) serão expostas: novamente combinação, pois a seleção não tem ordem: C_6^2
4. Distribuir essas 2 caminhonetes entre os 2 estandes distintos: pelo mesmo raciocínio, há 2 maneiras.
Pelo princípio multiplicativo, o total é:
C_4^2 \times 2 \times C_6^2 \times 2 = C_4^2 \times C_6^2 \times 2 \times 2
Que equivale a 6 \times 15 \times 2 \times 2 = 360 maneiras.
A alternativa que usa A_4^2 \times A_6^2 \times 2 \times 2 está errada porque o arranjo A_4^2 já incorpora a ordem entre os estandes, e multiplicar por 2 novamente duplicaria a contagem. Já a expressão C_4^2 \times C_6^2 (sem os fatores 2 \times 2) ignora que os estandes são posições distintas, subestimando o total.
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