Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula
V=P\cdot(1+i)^n
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para ln (4/3) e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
O conceito avaliado é juros compostos e valor presente. A ideia central é encontrar a menor parcela futura que, antecipada no momento da 30ª, gere um desconto superior a 25% do valor da parcela.
Se a parcela k é paga antecipadamente junto com a 30ª, o período de antecipação é n = k - 30 meses. O valor presente dessa parcela vale:
P = \frac{820}{(1{,}0132)^n}
O desconto obtido é D = 820 - P. A condição exigida é que o desconto seja superior a 25% da parcela:
D > 0{,}25 \times 820 \implies 820 - \frac{820}{(1{,}0132)^n} > 205
Dividindo por 820 e reorganizando:
1 - \frac{1}{(1{,}0132)^n} > 0{,}25 \implies (1{,}0132)^n > \frac{1}{0{,}75} = \frac{4}{3}
Aplicando logaritmo natural nos dois lados:
n \cdot \ln(1{,}0132) > \ln\!\left(\frac{4}{3}\right) \implies n \cdot 0{,}0131 > 0{,}2877
n > \frac{0{,}2877}{0{,}0131} \approx 21{,}96
Como n deve ser inteiro, a antecipação mínima é de 22 meses. Portanto, a primeira parcela que satisfaz a condição é a de número:
k = 30 + 22 = \mathbf{52}
Para confirmar: com n = 21, temos 21 \times 0{,}0131 = 0{,}2751 < 0{,}2877, ou seja, o desconto não alcança 25%. Já com n = 22, temos 22 \times 0{,}0131 = 0{,}2882 > 0{,}2877, satisfazendo a condição. A primeira parcela que pode ser antecipada é, portanto, a 52ª.
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