Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2).
Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?
x=0
y=0
x^2+y^2=16
x^2+(y-2)^2=4
(x-2)^2+(y-2)^2=8
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia o reconhecimento de equações de retas e circunferências no plano cartesiano, associando cada trajetória à pontuação obtida pelos pontos atingidos.
A regra do jogo exige que a trajetória passe pelo ponto escolhido e pela origem O(0, 0). Circunferências valem 2 pontos por ponto atingido; retas valem 1 ponto por ponto atingido.
Análise das alternativas que passam por A(0, 4):
A equação x = 0 é uma reta (o eixo y). Ela passa pela origem e por A(0, 4) e E(0, 2), totalizando 2 \times 1 = 2 pontos.
A equação x^2 + y^2 = 16 é uma circunferência centrada na origem com raio 4. A origem satisfaz 0^2 + 0^2 = 0 \neq 16, logo não passa pela origem — trajetória inválida pelas regras do jogo.
A equação x^2 + (y-2)^2 = 4 é uma circunferência com centro em (0, 2) e raio 2. Verificando a origem: 0^2 + (0-2)^2 = 4 ✓. Pontos do jogo atingidos: A(0,4) — 0 + 4 = 4 ✓ — e D(2,2) — 4 + 0 = 4 ✓. Pontuação: 2 \times 2 = 4 pontos.
A equação (x-2)^2 + (y-2)^2 = 8 é uma circunferência com centro em (2, 2) e raio \sqrt{8}. Verificando a origem: (0-2)^2 + (0-2)^2 = 4 + 4 = 8 ✓. Pontos do jogo atingidos:
— A(0, 4): 4 + 4 = 8 ✓
— B(4, 4): 4 + 4 = 8 ✓
— C(4, 0): 4 + 4 = 8 ✓
Pontuação: 3 \times 2 = 6 pontos.
A equação (x-2)^2 + (y-2)^2 = 8 é a que passa por A, pela origem e ainda elimina B e C simultaneamente, resultando na maior pontuação possível: 6 pontos.
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