Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete?
Esta questão avalia a habilidade de montar e resolver sistemas de equações a partir de uma situação-problema envolvendo contagem e porcentagem.
Definimos as variáveis:
a = alunos que compraram 3 bilhetes
c = alunos que compraram somente 1 bilhete
45 = alunos que compraram 2 bilhetes (dado direto)
O número total de alunos do colégio é N. Como 80 faltaram, os que compareceram foram N - 80, logo:
a + 45 + c = N - 80 \implies N = a + c + 125 \quad (I)
O total de bilhetes vendidos é:
T = 3a + 2 \cdot 45 + c = 3a + 90 + c
Condição 1: c representa 20% do total de bilhetes:
c = 0{,}2T \implies c = 0{,}2(3a + 90 + c)
c = 0{,}6a + 18 + 0{,}2c \implies 0{,}8c = 0{,}6a + 18 \implies 4c = 3a + 90 \quad (II)
Condição 2: O total de bilhetes excede em 33 o número de alunos:
T = N + 33 \implies 3a + 90 + c = N + 33 \quad (III)
Substituindo (I) em (III):
3a + 90 + c = (a + c + 125) + 33
2a = 68 \implies a = 34
Substituindo a = 34 em (II):
4c = 3 \cdot 34 + 90 = 192 \implies c = 48
Verificação: N = 34 + 48 + 125 = 207; T = 102 + 90 + 48 = 240; 20\% de 240 = 48 ✓; 240 - 207 = 33 ✓
Portanto, 48 alunos compraram somente um bilhete.
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