Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
36\sqrt{3}
24\sqrt{3}
— Gabarito (resposta correta)4\sqrt{3}
Este problema combina geometria espacial (cilindro) com trigonometria. A ideia central é que, ao desenrolar a faixa, a diagonal que forma a hélice se torna a diagonal de um retângulo plano.
Passo 1 — Calcular a circunferência da base do cilindro:
Com raio r = \dfrac{6}{\pi} cm, a circunferência é
C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12 \text{ cm}
Passo 2 — Identificar o número de voltas da hélice:
Como mostra a figura, a hélice completa 6 voltas completas ao redor do cilindro. Ao desenrolar a faixa, a diagonal percorre horizontalmente uma distância total de
L = 6 \times 12 = 72 \text{ cm}
Passo 3 — Aplicar a trigonometria:
No retângulo formado pelo desenrolamento, a diagonal faz 30° com a borda inferior. A altura h do cilindro corresponde ao lado vertical desse retângulo:
\tan(30°) = \frac{h}{L} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{72}
h = \frac{72}{\sqrt{3}} = \frac{72\sqrt{3}}{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}
As alternativas que trazem 36\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, 36 e 72 resultam de confundir o número de voltas da hélice ou a relação trigonométrica aplicada (usar cosseno em vez de tangente, ou tomar o ângulo complementar).
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